Урок по теме "Формула бинома Ньютона".

Цели урока:

Предметные:
– сформировать умение возводить двучлен в натуральную степень;
– умение находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Личностные:
– развитие логического мышления, таких мыслительных операций, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развитие умения выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимание необходимости их проверки;
Метапредметные:
– способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания.

Методы: проблемно-диалогический, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, компьютер, проектор.

Раздаточный материал: “Треугольник Паскаля”, карточки для самостоятельной работы

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

На экране фрагмент фильма “Мастер и Маргарита”

Комментарий к фрагменту.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

Вопросы к учащимся:

прочитайте выражения: (х +2у)², (а- b)³, (c - d)², (а+1)³, (с+3а)⁴, (х -2)⁵.

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а - 2)³ = а³ - 3а² 2 +3а 2² - 2³= а³ - 6а²+12а -8.

(c - 0,1d)² = с² - 0,2cd + 0,01d².

(а+2у)³ = а³ + 3а²2у +3а(2у)² +(2у)³= а³ + 6а²у +12ау² +8у³.

(с+а)⁴ = (с+а)² (с+а)² = (с² +2са + а²) (с² +2са +а²) =

= с⁴ + 2ас³ +а²с² + 2ас³ +4а²с² +2а³с +а²с² +2а³с +а⁴ =

= с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

(х -2)⁵ = (х -2)³(х -2)² = (х³ - 6х² +12х - 8) (х² - 4х+ 4) =

= х⁵ - 4х⁴ +4х³ - 6х⁴ +24х³ - 24х² +12х³ - 48х² + 48х - 8х² +32х -32 =

= х⁵ -10х⁴ + 40х³ - 80х² +80х -32. (рис. № 2)

Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)

В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

3. Введение нового материала.

Но прежде чем рассмотреть саму формулу, вспомним определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.

Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С, читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С= , где n! = 1 2 3 ::. (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).

Отметим некоторые свойства числа сочетаний:

С= С;

С= С= 1;

С= С + С , где n, r >1 (рис. № 3)

Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С= = =10.

Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества. Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.

Мы вплотную подошли к количеству подобных слагаемых в разложении степени двучлена на многочлен.

Вернёмся к примеру №5: (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴, что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С, где n - степень двучлена , m - степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с³а или са³ равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = ==4, что подтверждается вашими вычислениями. Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с²а² : С = ==6, что также верно. Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С= С= 1.